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n^0+n^1+n^2が6a+5の倍数でない事の証明

2018/10/13 math

何かツイート流れてきたので

  • 証明 n, an,\ aが整数の時、n0+n1+n2n^0+n^1+n^2、すなわちn+n2n+n^26a+56a+5の倍数にならないことを証明する 6a+56a+5の倍数はkkを整数とすると(6a+5)k(6a+5)kと表す事が出来る 1+n+n21+n+n^26a+56a+5の倍数だと仮定すると、 1+n+n2=(6a+5)k1+n+n^2=(6a+5)k n, an,\ a55の倍数の時、p, qp,\ qを整数としn=5pn=5pa=5qa=5qとすると、
(左辺)=1+5p+(5p)2=1+5p+25p2=1+5(p+5p2)\begin{aligned} \text{(左辺)} &=& 1+5p+(5p)^2 \\ &=& 1+5p+25p^2 \\ &=& 1+5(p+5p^2) \end{aligned} (右辺)=(65q+5)k=5k(6q+1)\begin{aligned} \text{(右辺)} &=& (6 \cdot 5q + 5)k \\ &=& 5k(6q+1) \end{aligned}

よって左辺は55の倍数でない、右辺は55の倍数となり矛盾する よってn0+n1+n2n^0+n^1+n^26a+56a+5の倍数ではない


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